数学星空下的“千年谜题”


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作者:黄义文(数学与系统科学研究院,副教授)

数学是最古老的学科。几千年来,一些尚未解决的数学问题仍然是秘密。

例如,数学中最古老的未解之谜双素数猜想是由着名的希腊数学家欧几里得提出的,已有近2300年的历史。这个数字上最重大的突破是中国数字科学家张义堂在2013年完成的。

1900年,世界数学的领导者德国数学家希尔伯特提出了23个雄心勃勃的数学问题。一个世纪后,除了一个问题,已经完全或部分解决了22个问题。

2000年初,美国克莱数学学院也发起了一项挑战:向世界公开询问七个数学问题的答案。这些问题涉及纯数学和应用数学的最困难和令人着迷的领域:从拓扑和数论到粒子物理学,密码学,计算理论,甚至飞机设计,它们也被称为“千年难题”。

“千年难题”位于数学世界的顶端,可能代表人类智力活动的顶峰,解决每个问题可能意味着找到隐藏未知真相的巨大宝藏。这些问题激发了几代最杰出的数学家的加入,以获取解锁人类未来文明的密码。

■难题1:黎曼猜想?这是希尔伯特在1900年提出的23个问题中唯一未解决的问题。

1859年,德国数学家黎曼(Riemann)在他提交给柏林科学院的论文中提出了一个猜想,试图完全回答数学中最古老的问题之一:素数在自然数中的分布。早在公元前350年,欧几里得就证明素数的数量是无限的,但是尚不知道其分布规律。黎曼猜想为该分布定律提出了一个确定的模型。

解决这一猜想的方法可能会打开一扇大门,将数学和物理学连接到前所未有的形式,从而使当代文明有可能受益于2000年数字理论的杰出成就。在此之前,作为最纯粹的数学工具,数论已与现实世界彻底隔离。

■难题2:Yang-Mills理论和质量缺口假设? 1954年,物理学家杨振宁和米尔斯提出了一个方程,旨在描述使用非阿贝尔李氏族的基本粒子的行为。杨米尔斯理论被誉为20世纪下半叶最重要的理论物理学成就,并且是现代规范领域理论的基础。在对称性自发突破和渐进自由概念之后,该理论逐渐发展成为当今的标准模型。

由Yang-Mills方程开发的标准模型可以准确预测世界各地实验室中观察到的事实,并且其应用已深入到物理学的其他分支,例如统计物理学,凝聚态物理学和非线性。系统等。从实践的角度来看,Yang-Mills方程取得了巨大的成功,但尚未建立其相应的数学理论,特别是在确定“质量差距假设”的数学需求方面。该假设解释了为什么电子具有质量。

质量缺口假设的完全解决将提供严格的理论证明,同时也让物理学家受益。此前物理学家只能观察到电子有质量,却无法解释电子的质量从何而来。

■谜题三:P和NP问题?计算机领域诞生了两个影响人类文明进程的大问题。第一个就是希尔伯特提出的第十问题:是否存在一种机械的算法来判定丢番图方程的可解性。英国数学家图灵正是基于对该问题的思考而建立了图灵机,成为彪炳史册的现代计算机之父。

另一个问题就是P和NP问题。此问题的核心是研究计算机解决问题的效率。计算机科学家把计算问题分成两类:这里的P指多项式时间,一个复杂问题如果能在多项式时间内解决,那么它便被称为P问题,这意味着计算机可以在有限时间内完成计算;NP指非确定性多项式时间。一个复杂问题不能确定在多项式时间内解决,假如NP问题能找到算法使其在多项式时间内解决,也就是证得了P=NP。

然而,现代绝大多数在工业和商业中的大型计算任务都是NP问题。对该问题的肯定解答将对工业和商业乃至互联网产生极为深远的影响。

■谜题四:纳维-斯托克斯方程?数学家和物理学家都深信,无论是天气预报还是大浪湍流,都可以通过纳维-斯托克斯方程的解来刻画和解释。

19世纪中叶,法国科学家纳维和英国物理学家斯托克斯提出了描述流体和气体运动行为的方程。该方程揭示了一般分子运动的基本规律,因此对物质运动提供了最深刻和可靠的理解。它逐渐在天气预报、大气海洋、石油勘探、电气工程、水利工程、机械制造、国防军工(诸如核弹模拟)、飞机设计、航空动力学、航天工程、行星运动等前沿科技与工业制造中发挥着核心的作用。

破译纳维-斯托克斯方程解的密码,无疑将在科技和实践层面带来翻天覆地的突破,提升整个现代文明的等级。

■谜题五:庞加莱猜想?19世纪末,法国大数学家庞加莱提出了一个数学领域的简单问题:怎样才能把一个苹果和一个甜甜圈区分开来?

该问题位于数学中最迷人的领域之一 拓扑学,它以深刻而基本的方式展现了物质形体之间的关联。庞加莱猜想的完全解决将帮助人们完全了解物质的空间几何结构的存在形式。这一问题的彻底解决,将对半导体等电子器件的设计和制造、万维网的设计、交通运输规划、动画设计甚至对大脑神经元的结构都将有革命性的认识。

拓扑学不仅在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用,也对物理学产生重大的推动作用。2016年,三位物理学家因为发现物质拓扑相和在拓扑相变理论上的突出贡献而分享了诺贝尔奖。

鉴于其重大的理论和工业影响力,庞加莱猜想顺理成章地成为拓扑学的圣杯。令人欣慰的是,该猜想最终由俄罗斯的天才数学家佩雷尔曼在2004年完全解决。这也是迄今为止唯一被破译的千年之谜。

■谜题六:伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想?公元3世纪,古希腊亚历山大城的数学家丢番图开始研究一类系数为整数的不定方程的解。寻找此类丢番图方程的整数解开启了代数学上最为辉煌的一个分支。比如着名的费马大定理就是无数丢番图方程的一个极其简单的特例。

对于更加复杂的方程,要了解方程解的信息变得极为困难。伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想提供了关于某些困难情况下的解的信息。

和黎曼猜想一样,对这一问题的解答将增加我们对素数的全面理解,从而有可能找到上帝用自然数创世的密码。

■谜题七:霍奇猜想?20世纪上半叶,数学家发现了研究复杂对象形状的有力方法。其基本的想法就是把维数逐渐增加的简单几何砌块黏合在一起,从而逼近一个给定对象的形状。这种想法的核心问题就在于逼近物体的程度。

基于不同逼近方式的分类,数学家发明了许多有力的工具,它们在实践中被证明极富成效,但是却缺乏这个过程的几何源头。霍奇猜想断言,对这些对象中的一类重要对象(射影代数簇),即被称为霍奇闭链的部件均是几何部件(代数闭链)的组合。用通俗的语言来说,霍奇猜想表明:任何一座精美宏伟的宫殿,都可以由一堆积木垒成。

最新的研究则表明,霍奇猜想与广义相对论、量子纠缠和庞加莱猜想在更深的层次上有可能融为一体。对它的深刻认知,有助于了解宇宙中最深邃奇妙的物质构成。

(由中国科学院“科学大院”提供)

《光明日报》( 2019年09月12日?16版)

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